Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para a equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com uma equação que relaciona as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
O método de separação de variáveis envolve assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis. Ou seja, vamos supor que:
Aqui,
é uma função apenas de
e
é uma função apenas de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
De acordo com a equação dada:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados da equação por
:
Observe que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. Isso só é possível se ambos os lados forem iguais a uma constante, digamos
.
Passo 6
Então, temos duas equações separadas:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 7
Resolvendo para
:
Esta é uma equação diferencial linear cuja solução é:
onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Semelhante à equação para
, a solução é:
onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Agora, juntamos as soluções de
e
:
onde
é uma constante geral.
Resposta
Uma solução particular para a equação é:
onde
e
são constantes.
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e
, quando
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. Calcule
e
.
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