Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
partial upartial x=partial upartial y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para a equação diferencial parcial:
partial upartial x = partial upartial y
Aqui, estamos lidando com uma equação que relaciona as derivadas parciais de uma função em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

O método de separação de variáveis envolve assumir que a solução u(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis. Ou seja, vamos supor que:
Aqui, é uma função apenas de e é uma função apenas de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = dXdx cdot Y(y) em relação a partial upartial y = X(x) cdot dYdy e :

Passo 4

De acordo com a equação dada:
partial upartial x = partial upartial y
Substituindo as derivadas que calculamos:
dXdx cdot Y(y) = X(x) cdot dYdy

Passo 5

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados da equação por 1X(x) cdot dXdx = 1Y(y) cdot dYdy :
Observe que o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito depende apenas de . Isso só é possível se ambos os lados forem iguais a uma constante, digamos .

Passo 6

Então, temos duas equações separadas:
1X(x) cdot dXdx = k
1Y(y) cdot dYdy = k
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 7

Resolvendo para dXdx = k cdot X(x) :
X(x) = C1 e^k x
Esta é uma equação diferencial linear cuja solução é:
onde é uma constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para dYdy = k cdot Y(y) :
Y(y) = C2 e^k y
Semelhante à equação para , a solução é:
onde é outra constante de integração.

Passo 9

Agora, juntamos as soluções de u(x, y) = X(x) cdot Y(y) = C1 e^k x cdot C2 e^k y = C e^k(x + y) e :
onde é uma constante geral.

Resposta

Uma solução particular para a equação é:
u(x, y) = C e^k(x + y)
onde e são constantes.

Exercícios relacionados