Seja z=(x^2+y^2) ln (x^2+y^2). Calcule partial zpartial x e partialtpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e usar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão definindo . Assim, podemos reescrever como . Isso vai facilitar a aplicação das regras de derivação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = ln(u) cdot partial upartial x + u cdot partialpartial x(ln u) em relação a , ou seja, . Usando a regra do produto, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de partial upartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x em relação a partialpartial x(ln u) = 1u cdot partial upartial x = 2xu :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão da derivada:
partial zpartial x = ln(u) cdot 2x + u cdot 2xu = 2x ln(u) + 2x = 2x (ln(u) + 1)
E lembrando que partial zpartial x = 2x ( ln(x^2 + y^2) + 1 ) , ficamos com:

Passo 6

De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = ln(u) cdot partial upartial y + u cdot partialpartial y(ln u) em relação a partial upartial y = 2y , ou seja, partialpartial y(ln u) = 2yu :
partial zpartial y = 2y ln(u) + 2y = 2y (ln(u) + 1)
Seguindo os mesmos passos, temos:
partial zpartial y = 2y ( ln(x^2 + y^2) + 1 )
Substituindo na expressão:
E novamente, substituindo :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x ( ln(x^2 + y^2) + 1 )
e
partial zpartial y = 2y ( ln(x^2 + y^2) + 1 )

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