Calcule as integrais definidas
d) integral0^pi2 sen 2 x d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de sin(2x) de 0 a pi2. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente a função seno com um coeficiente angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar sin(ax), onde a é uma constante, usamos a seguinte regra:
integral sin(ax) , dx = -1a cos(ax) + C
Aqui, C é a constante de integração, que não precisamos considerar nas integrais definidas porque vamos calcular um valor específico.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa integral, onde a = 2, temos:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a pi2. Isso significa que precisamos avaliar a antiderivada nos limites superiores e inferiores e subtrair os resultados:
[ -12 cos(2x) ]0^pi2 = ( -12 cos(2 cdot pi2) ) - ( -12 cos(0) )
Simplificando os argumentos do cosseno:
= ( -12 cos(pi) ) - ( -12 cos(0) )
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1, então:
= ( -12 cdot (-1) ) - ( -12 cdot 1 ) = 12 + 12 = 1

Resposta

A integral definida vale 1.

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