Resolva as integrais por u d u
a) integral sen x raiz1-cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável , facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que temos u = 1 - cos x dentro da raiz. Então, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de é , que aparece no integrando.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = sen x em relação a du = sen x , dx para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Substituindo integral sen x raiz1 - cos x , dx = integral raizu , du e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos resolver a nova integral integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 23 u^3/2 + C = 23 (1 - cos x)^3/2 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a:
23 (1 - cos x)^3/2 + C

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