Calcule as integrais definidas:
(n) integral1^6|x^2-7 x+10| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . A matéria que estamos usando aqui é o cálculo de integrais definidas, especificamente lidando com o valor absoluto de uma função quadrática. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação quadrática x = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1 = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm 32 . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 7 + 32 = 5 e x = 7 - 32 = 2
Então, as soluções são:

Passo 3

Sabemos que a parábola cruza o eixo nos pontos e . Isso significa que a expressão é positiva nas regiões onde e , e negativa entre e .

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral em três partes, de acordo com os intervalos determinados pelas raízes:
integral1^6|x^2-7 x+10| dx = integral1^2 (x^2-7x+10) dx + integral2^5 -(x^2-7x+10) dx + integral5^6 (x^2-7x+10) dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Integral de 1 a 2:
integral1^2 (x^2-7x+10) dx = [x^33 - 7x^22 + 10x ]1^2
Calculando em 83 - 282 + 20 = 83 - 14 + 20 = 83 + 6 = 263 :
13 - 72 + 10 = 13 - 3.5 + 10 = 13 + 6.5 = 203
Calculando em 263 - 203 = 2 :
integral2^5 -(x^2-7x+10) dx = integral2^5 (-x^2 + 7x -10) dx = [-x^33 + 7x^22 - 10x ]2^5
Então:
-1253 + 1752 - 50 = -1253 + 87.5 - 50 = -1253 + 37.5 = -1253 + 752 = -2506 + 2256 = -256
Integral de 2 a 5:
-83 + 282 - 20 = -83 + 14 - 20 = -83 -6 = -263
Calculando em -256 - (-263) = -256 + 263 = -256 + 526 = 276 = 4.5 :
integral5^6 (x^2-7x+10) dx = [x^33 - 7x^22 + 10x ]5^6
Calculando em 2163 - 7 cdot 362 + 60 = 72 - 126 + 60 = 6 :
1253 - 7 cdot 252 + 50 = 1253 - 87.5 + 50 = 1253 - 37.5 = 1253 - 752 = 2506 - 2256 = 256
Então:
6 - 256 = 366 - 256 = 116
Integral de 5 a 6:
Calculando em :
Calculando em :
Então:

Resposta

Somando todas as partes, temos:
2 + 4.5 + 116 = 6.5 + 1.8333 approx 8.3333
Portanto, o valor da integral definida é aproximadamente .

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