Calcule as integrais definidas:
(d) integral0^1(x-x^2) d x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do tópico de Integração. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a antiderivada de . A antiderivada de uma função é aquela que, ao derivar, nos dá de volta a função original. Para , a antiderivada é porque a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos achar a antiderivada de . Usamos a mesma lógica: a antiderivada de é . Então, para , a antiderivada é porque a derivada de é .

Passo 4

Juntando as duas antiderivadas que encontramos, a antiderivada completa de x^22 - x^33 é:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1. Isso significa que vamos substituir ( 1^22 - 1^33 ) - ( 0^22 - 0^33 ) por 1 e depois por 0 na antiderivada, e subtrair os resultados:

Passo 6

Simplificando as substituições:
( 12 - 13 ) - ( 0 - 0 ) = 12 - 13

Passo 7

Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6. Então, reescrevemos as frações:
12 = 36 e 13 = 26
Agora, subtraímos:
36 - 26 = 16

Resposta

A integral definida é igual a .

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