Calcule as integrais:
(n) integral x^3 raizx^2-25 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral x^3 raizx^2-25 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências de x e uma raiz quadrada. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que dentro da raiz temos x^2 - 25. Vamos definir:
u = x^2 - 25
Isso simplifica a expressão dentro da raiz, tornando mais fácil trabalhar com a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x
Isso nos permitirá reescrever a integral em termos de u.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x^3 raizx^2-25 , dx = integral x^3 raizu cdot du2x = integral x^2 raizu2 , du
Simplificando x^2 usando a expressão de u:
x^2 = u + 25
Então, a integral fica:
integral (u + 25) raizu2 , du = 12 integral (u^3/2 + 25u^1/2) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 integral u^3/2 , du + 252 integral u^1/2 , du
Integrando cada termo:
12 cdot 25 u^5/2 + 252 cdot 23 u^3/2 + C = 15 u^5/2 + 253 u^3/2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a variável original x:
15 (x^2 - 25)^5/2 + 253 (x^2 - 25)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x^3 raizx^2-25 , dx é igual a:
15 (x^2 - 25)^5/2 + 253 (x^2 - 25)^3/2 + C

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