Calcule as integrais definidas
(d) integral0^4 xx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte do estudo de integrais definidas, que são usadas para calcular áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções racionais, e vamos usar uma substituição simples para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifica a integral. Observe que o denominador é u = x^2 + 4 e o numerador é . Isso sugere que podemos usar a substituição:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar x , dx = du2 :
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral0^4 xx^2+4 dx = integralu(0)^u(4) 1u cdot du2 e = 12 integralu(0)^u(4) 1u du na integral original:
u(0) = 0^2 + 4 = 4
u(4) = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20
Agora, precisamos calcular os limites de integração para :
Quando :
Quando :

Passo 5

Agora a integral fica assim:
12 integral4^20 1u du
A integral de 12 [ ln|u| ]4^20 em relação a é o logaritmo natural de . Então:

Passo 6

Vamos calcular o valor da integral aplicando os limites:
12 ( ln(20) - ln(4) )
Utilizando a propriedade dos logaritmos 12 ln( 204 ) :
12 ln(5)

Resposta

A integral é igual a .

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