Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(h) integral(x^2+2 x) sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Nosso conteúdo aqui são integrais e, especificamente, a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que podemos derivar e integrar separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será na nossa integral. Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa integral u = x^2 + 2x Rightarrow du = (2x + 2) , dx . Vamos escolher:
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral(x^2+2 x) sin(x) , dx = (x^2+2x)(- cos(x)) - integral (-cos(x))(2x + 2) , dx
Simplificando:
= -(x^2+2x)cos(x) + integral (2x + 2) cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = 2x + 2 Rightarrow du = 2 , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Escolhemos:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral (2x + 2) cos(x) , dx = (2x + 2)sin(x) - integral sin(x) cdot 2 , dx
Simplificando:
= (2x + 2)sin(x) - 2 integral sin(x) , dx
Sabemos que = (2x + 2)sin(x) - 2(-cos(x)) = (2x + 2)sin(x) + 2cos(x) , então:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
-(x^2+2x)cos(x) + integral (2x + 2) cos(x) , dx = -(x^2+2x)cos(x) + (2x + 2)sin(x) + 2cos(x)

Resposta

Então, a integral -(x^2+2x)cos(x) + (2x + 2)sin(x) + 2cos(x) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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