Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Nosso conteúdo aqui são integrais e, especificamente, a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que podemos derivar e integrar separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
na nossa integral. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa integral
. Vamos escolher:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
Então, a integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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(n)
(n)
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(k)
(k)
Calcule as integrais definidas
(d)
(d)
Mostre que a função exponencial
é uma bijeção do aberto
sobre o aberto
.