Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(n) integral v(v^2-4)^9 d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de mudança de variáveis ou substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Olhando para a expressão , uma boa escolha é definir . Isso porque, ao derivar , vamos obter uma expressão que aparece na integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudv = 2v Rightarrow du = 2v, dv em relação a para encontrar :
Isso significa que pode ser substituído por na nossa integral.

Passo 4

Vamos substituir integral v(v^2-4)^9 dv = integral (u)^9 cdot du2 = 12 integral u^9 du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples e só depende de .

Passo 5

Vamos integrar 12 cdot u^1010 + C = u^1020 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original (v^2 - 4)^1020 + C substituindo :

Resposta

integral v(v^2-4)^9 dv = (v^2 - 4)^1020 + C

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