Mostre que a função exponencial
é uma bijeção do aberto
sobre o aberto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função exponencial
é uma bijeção entre dois conjuntos específicos no plano complexo. Basicamente, precisamos provar que cada elemento do primeiro conjunto corresponde a exatamente um elemento do segundo conjunto e vice-versa.
Conteúdo envolvido:
- Função exponencial complexa:
, onde é um número complexo. - Bijeção: Uma função que é simultaneamente injetora (sem repetições) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
- Geometria no plano complexo: Analisaremos como a função
mapeia regiões específicas.
O que vamos precisar:
- Entender como a função exponencial age em números complexos.
- Provar injetividade e sobrejetividade da função nos conjuntos dados.
Passo 2
Vamos primeiro entender como a função exponencial funciona para números complexos. Se
, onde
e
são números reais, então:
Isso significa que:
- Módulo de
: - Argumento de
:
Passo 3
Conjunto de partida:
Isso significa que:
-
(parte real negativa) -
(parte imaginária entre 0 e )
Aplicando a função exponencial:
-
, com , então -
, com , então varia entre -1 e 1, mas como , pode ser positivo ou negativo.
No entanto, para o conjunto de chegada
:
-
-
, ou seja,
Mas como no nosso conjunto de partida
está entre 0 e
, a condição
ocorre apenas quando
. Isso significa que há uma restrição adicional para garantir
.
Passo 4
Provar Injetividade:
Para mostrar que é injetora, precisamos provar que se
, então
.
Para mostrar que
Suponha que
:
Como os módulos são iguais:
E os argumentos devem ser iguais (dentro do intervalo dado):
Portanto,
, provando que a função é injetora.
Provar Sobrejetividade:
Agora, precisamos mostrar que para todo no conjunto de chegada
, existe um
no conjunto de partida tal que
.
Agora, precisamos mostrar que para todo
Dado
com
e
, podemos escrever:
Aqui:
-
porque -
Portanto,
pertence ao conjunto de partida e satisfaz
, o que mostra que a função é sobrejetora.
Resposta
Assim, demonstramos que a função exponencial
é uma bijeção do conjunto
para o conjunto
.
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(d)
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(h)
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Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) ;
© ;
(b) ;
(a)
©
(b)
Mostre que a função
, fornece uma bijeção entre o aberto
e o semi-plano superior
. Determine a inversa dessa bijeção.