Mostre que a função exponencial e^z é uma bijeção do aberto {z: Re(z)<0, 0<Im(z)<pi} sobre o aberto {z : |z| < 1, Re(z) > 0}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função exponencial é uma bijeção entre dois conjuntos específicos no plano complexo. Basicamente, precisamos provar que cada elemento do primeiro conjunto corresponde a exatamente um elemento do segundo conjunto e vice-versa.
Conteúdo envolvido:
  • Função exponencial complexa: , onde é um número complexo.
  • Bijeção: Uma função que é simultaneamente injetora (sem repetições) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
  • Geometria no plano complexo: Analisaremos como a função mapeia regiões específicas.
O que vamos precisar:
  • Entender como a função exponencial age em números complexos.
  • Provar injetividade e sobrejetividade da função nos conjuntos dados.

Passo 2

Vamos primeiro entender como a função exponencial funciona para números complexos. Se , onde e são números reais, então:
Isso significa que:
  • Módulo de :
  • Argumento de :

Passo 3

Conjunto de partida:
Isso significa que:
  • (parte real negativa)
  • (parte imaginária entre 0 e )
Aplicando a função exponencial:
  • , com , então
  • , com , então varia entre -1 e 1, mas como , pode ser positivo ou negativo.
No entanto, para o conjunto de chegada :
  • , ou seja,
Mas como no nosso conjunto de partida está entre 0 e , a condição ocorre apenas quando . Isso significa que há uma restrição adicional para garantir .

Passo 4

Provar Injetividade:
Para mostrar que é injetora, precisamos provar que se , então .
Suponha que :
Como os módulos são iguais:
E os argumentos devem ser iguais (dentro do intervalo dado):
Portanto, , provando que a função é injetora.
Provar Sobrejetividade:
Agora, precisamos mostrar que para todo no conjunto de chegada , existe um no conjunto de partida tal que .
Dado com e , podemos escrever:
Aqui:
  • porque
Portanto, pertence ao conjunto de partida e satisfaz , o que mostra que a função é sobrejetora.

Resposta

Assim, demonstramos que a função exponencial é uma bijeção do conjunto para o conjunto .

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