Calcule as integrais definidas dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a expressão dentro da raiz mais simples. Vamos definir
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Derivando
, temos:
Agora, substituímos
por
e
por
na integral original.
Passo 4
A integral fica assim:
Agora, sabemos que
, então vamos integrar
.
Passo 5
Integrando
:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Isso nos dá a antiderivada da função original. Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de
a
.
Passo 7
Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para :
Para
Para
:
Resposta
A integral definida
é igual a
.