Calcule as integrais definidas dadas a seguir.
integral0^4 raiz2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a expressão dentro da raiz mais simples. Vamos definir . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

Derivando dudx = 2 implies du = 2 , dx implies dx = du2 , temos:
Agora, substituímos por e por na integral original.

Passo 4

A integral fica assim:
integral raizu cdot du2 = 12 integral raizu , du
Agora, sabemos que , então vamos integrar .

Passo 5

Integrando integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 :
12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo 13 (2x + 1)^3/2 :
Isso nos dá a antiderivada da função original. Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de a .

Passo 7

Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para 13 (2 cdot 4 + 1)^3/2 = 13 (9)^3/2 = 13 cdot 27 = 9 :
13 (2 cdot 0 + 1)^3/2 = 13 (1)^3/2 = 13 cdot 1 = 13
Para :

Resposta

A integral definida é igual a .

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