Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade integral f(x) d x=sin x-x cos x-1+c, determinar f(pi4).

Passo 1

Vamos lá! Temos que encontrar o valor de . Sabemos que é a função derivada da integral dada, que envolve cálculo diferencial e integral. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar uma função com sua integral.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se , então é a derivada dessa expressão em relação a . Isso porque a integral de uma função é a sua antiderivada.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da integral:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto: derivada de é 1 multiplicada por mais multiplicada pela derivada de , que é . Então: .
  • A derivada de é 0.
  • A derivada da constante é 0.

Passo 4

Juntando tudo, temos:
f(x) = cos x - cos x + x sin x = x sin x

Passo 5

Agora, substituímos f(pi4) = pi4 cdot sin(pi4) por :
Sabemos que .

Resposta

Portanto,
f(pi4) = pi raiz28

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