Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função que envolve funções trigonométricas. No caso, a expressão que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos integrar:
. Na verdade, parece que já temos a antiderivada, mas para entender melhor, vamos supor que queremos encontrar a integral de
.
Sabemos que
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
Isso vai ajudar na integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar
usando a identidade que encontramos:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
A integral de
é uma função bem conhecida: -
A integral de
é:
Juntando essas duas integrais, temos:
Passo 5
Agora, se compararmos com a expressão que temos inicialmente,
, percebemos que há uma pequena diferença. Vamos verificar se a derivada dessa expressão nos dá a função original.
Calculando a derivada de
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Somando essas derivadas:
Isso significa que a expressão
é, na verdade, a antiderivada de
, não de
.
Resposta
Após os cálculos, a integral de
é dada por: