Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(e) 1/2 * tan^2(x) + log(abs(cos(x))) + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função que envolve funções trigonométricas. No caso, a expressão que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos integrar: . Na verdade, parece que já temos a antiderivada, mas para entender melhor, vamos supor que queremos encontrar a integral de .
Sabemos que pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
Isso vai ajudar na integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar usando a identidade que encontramos:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de é uma função bem conhecida:
  2. A integral de -1 é:
Juntando essas duas integrais, temos:

Passo 5

Agora, se compararmos com a expressão que temos inicialmente, , percebemos que há uma pequena diferença. Vamos verificar se a derivada dessa expressão nos dá a função original.
Calculando a derivada de :
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
Somando essas derivadas:
Isso significa que a expressão é, na verdade, a antiderivada de , não de .

Resposta

Após os cálculos, a integral de é dada por:

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