Determinar a função f(x) tal que integral 5 f(x) d x=x^2+2 cos 2 x+c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função que, ao ser multiplicada por 5 e integrada, resulta em . Isso envolve conceitos de cálculo integral e derivada, então vamos precisar usar essas ferramentas para descobrir .

Passo 2

Primeiro, temos a equação da integral:
integral 5 f(x) , dx = x^2 + 2 cos 2x + c
Para encontrar , vamos manipular essa equação. O objetivo é isolar .

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação por 5 para simplificar:
integral f(x) , dx = x^25 + 25 cos 2x + c5
Agora, queremos encontrar , que é a função que está sendo integrada.

Passo 4

Para descobrir , vamos usar o processo inverso da integração, que é a derivada. Se integramos , então é a derivada da expressão do lado direito.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de f(x) = ddx ( x^25 + 25 cos 2x + c5 ) em relação a :

Passo 6

Calculando cada termo separadamente:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é 0, já que é uma constante.

Passo 7

Juntando tudo:
f(x) = 2x5 - 45 sin 2x

Resposta

A função procurada é:
f(x) = 2x5 - 45 sin 2x

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