Calcule as integrais definidas dadas a seguir.
integral1^2 d x(3-5 x)^2

Passo 1

Então, vamos calcular a integral definida . Esse exercício está relacionado a cálculo integral, especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão do denominador. Observamos que é uma boa escolha porque a derivada de em relação a aparece no numerador.

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = -5 Rightarrow du = -5,dx Rightarrow dx = -du5 em relação a :
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral dx(3 - 5x)^2 = integral -du5u^2 = -15 integral u^-2,du e na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Integrando - 15 integral u^-2,du = -15 ( u^-1-1 ) + C = 15u + C em relação a , obtemos:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar .

Passo 6

Agora, substituímos 15u = 15(3 - 5x) de volta por :
Então, a antiderivada da função é .

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ 15(3 - 5x) ]1^2 = 15(3 - 5 cdot 2) - 15(3 - 5 cdot 1) = 15(3 - 10) - 15(3 - 5) = 15(-7) - 15(-2)

Passo 8

Simplificamos as frações:
1-35 - ( 1-10 ) = -135 + 110 = -270 + 770 = 570 = 114

Resposta

A integral definida é igual a .

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