Calcule as integrais definidas dadas a seguir.
Passo 1
Então, vamos calcular a integral definida
. Esse exercício está relacionado a cálculo integral, especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão do denominador. Observamos que
é uma boa escolha porque a derivada de
em relação a
aparece no numerador.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite substituir
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Integrando
em relação a
, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar
.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta por
:
Então, a antiderivada da função é
.
Passo 7
Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Passo 8
Simplificamos as frações:
Resposta
A integral definida
é igual a
.