Resolva as integrais indefinidas abaixo.
integral x^5 raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Estamos lidando com cálculo, especificamente integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u = 1 + x^2 . Observando a expressão , percebemos que é uma boa candidata para substituição porque sua derivada envolve , que já está presente na integral.
Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar du2 = x , dx :

Passo 4

Rearranjando a integral original com nossa substituição, temos:
integral x^5 raiz1+x^2 , dx = integral x^5 raizu , dx
Sabemos que x^5 = x^4 cdot x = (u - 1)^2 cdot x , então integral (u - 1)^2 raizu cdot x , dx . Assim, podemos reescrever x , dx = du2 como:
integral (u - 1)^2 raizu cdot du2 = 12 integral (u - 1)^2 u^1/2 , du
Substituindo na integral:
Usando a expressão para que encontramos:

Passo 5

Vamos expandir (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 :
u^2 cdot u^1/2 = u^5/2
Agora, multiplicamos cada termo por -2u cdot u^1/2 = -2u^3/2 :
1 cdot u^1/2 = u^1/2
12 integral ( u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 ) , du
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^5/2 , du = 27 u^7/2
integral -2u^3/2 , du = -45 u^5/2
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Reunindo tudo:
12 ( 27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 ) + C
= 17 u^7/2 - 25 u^5/2 + 13 u^3/2 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 + C substituindo :

Resposta

A integral 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 + C é igual a:

Exercícios relacionados