Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de frações parciais para simplificar a integral. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar por :
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
A = 1
A + B = 0 Rightarrow 1 + B = 0 Rightarrow B = -1
C = 0
Então, a decomposição fica:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
integral1^3 ( 1x - xx^2 + 1 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integrando integral 1x dx = ln|x| + C :
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C
Integrando :
Fazemos a substituição , então ou .
Passo 8
Juntando as integrais:
ln|x| - 12 ln(x^2 + 1) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.