Calcule as integrais definidas:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de frações parciais para simplificar a integral. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar por :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando :
Integrando :
Fazemos a substituição , então ou .

Passo 8

Juntando as integrais:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.

Passo 9

Calculando em :
Calculando em :

Resposta

Subtraindo os valores:
Simplificando,
Portanto, o valor da integral definida é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(a)
A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.
Calcule as integrais definidas:
(k)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .