Calcule as integrais definidas:
(f) integral1^3 1x^3+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de frações parciais para simplificar a integral. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x = x(x^2 + 1) . Podemos fatorar por integral1^3 1x(x^2 + 1) dx :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1 em frações parciais. Assumimos que:
1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
1 = (A + B)x^2 + Cx + A
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo A + B = 0 C = 0 A = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
A = 1
A + B = 0 Rightarrow 1 + B = 0 Rightarrow B = -1
C = 0
Então, a decomposição fica:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral1^3 ( 1x - xx^2 + 1 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando integral 1x dx = ln|x| + C :
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C
Integrando :
Fazemos a substituição , então ou .

Passo 8

Juntando as integrais:
ln|x| - 12 ln(x^2 + 1) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.

Passo 9

Calculando em ln(3) - 12 ln(9 + 1) = ln(3) - 12 ln(10) :
ln(1) - 12 ln(1 + 1) = 0 - 12 ln(2) = -12 ln(2)
Calculando em :

Resposta

Subtraindo os valores:
( ln(3) - 12 ln(10) ) - ( -12 ln(2) ) = ln(3) - 12 ln(10) + 12 ln(2)
Simplificando,
ln(3) + 12 ln(210) = ln(3) - 12 ln(5)
Portanto, o valor da integral definida é:
ln(3) - 12 ln(5)

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