A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. A gente tem uma curva cujo ponto de tangência é
, e a reta tangente nessa curva nesse ponto é
. Também sabemos que a derivada da função que define essa curva é
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas (cálculo diferencial) e o conceito de reta tangente a uma curva. Vamos precisar entender como a derivada está relacionada à inclinação da reta tangente e como encontrar a função original a partir da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação da reta tangente para achar o valor de
. A reta tangente tem a equação
, então a inclinação dessa reta é
. Sabemos que a derivada da função,
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
No ponto
, a inclinação da reta tangente é
. Vamos igualar isso à inclinação da reta fornecida:
Como a inclinação da reta tangente é
, temos:
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos escrever a derivada completa da função:
Para encontrar a função original
, precisamos integrar
. A integração é o processo inverso da derivada, então vamos integrar cada termo de
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
em relação a é:
- A integral de
em relação a é:
Então, somando as integrais:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos o ponto que a curva passa, que é
. Isso significa que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação da função:
Resposta
Portanto, a equação da curva é:
Exercícios relacionados
Encontrar a função
tal que:
(a) e
(a)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
© e
©
Calcule as integrais definidas:
(a)
(a)
Calcule as integrais definidas:
(f)
(f)