A equação da reta tangente a uma curva no ponto 0,2 é y = 3 x + 2. Sabendo que em um ponto (x, y) qualquer da curva f'(x) = 3 x^2 + k ( k constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. A gente tem uma curva cujo ponto de tangência é 0,2, e a reta tangente nessa curva nesse ponto é . Também sabemos que a derivada da função que define essa curva é , onde k é uma constante que precisamos descobrir.
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas (cálculo diferencial) e o conceito de reta tangente a uma curva. Vamos precisar entender como a derivada está relacionada à inclinação da reta tangente e como encontrar a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação da reta tangente para achar o valor de k. A reta tangente tem a equação , então a inclinação dessa reta é . Sabemos que a derivada da função, , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x da curva.
No ponto 0,2, a inclinação da reta tangente é . Vamos igualar isso à inclinação da reta fornecida:
Como a inclinação da reta tangente é , temos:

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos escrever a derivada completa da função:
Para encontrar a função original f(x), precisamos integrar . A integração é o processo inverso da derivada, então vamos integrar cada termo de :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de em relação a x é:
  1. A integral de em relação a x é:
Então, somando as integrais:
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar o valor de C, usamos o ponto que a curva passa, que é 0,2. Isso significa que quando x = 0, . Vamos substituir esses valores na equação da função:

Resposta

Portanto, a equação da curva é:

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