Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a)
e o eixo
.
(a)
Passo 1
A gente precisa encontrar a área da região
que está limitada pela curva
, pela reta vertical
e pelo eixo
. Para isso, vamos usar integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva
cruza o eixo
quando
, ou seja, quando
. Então, nossos limites vão de
até
.
Passo 3
Para calcular a área, vamos integrar a função
em relação a
de 1 a 2. A integral definida será:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. A gente usa a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Passo 5
Vamos escolher
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a 2:
Passo 8
Sabemos que
, então simplificando:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas:
(k)
(k)
Calcule as integrais definidas:
(f)
(f)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(d) e
.
(d)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
©
©