Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .

Passo 1

A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela curva , pela reta vertical e pelo eixo . Para isso, vamos usar integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva cruza o eixo quando , ou seja, quando . Então, nossos limites vão de até .

Passo 3

Para calcular a área, vamos integrar a função em relação a de 1 a 2. A integral definida será:
Á

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . A gente usa a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar o produto de duas funções. A fórmula é:

Passo 5

Vamos escolher e . Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a 2:
Á

Passo 8

Sabemos que , então simplificando:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(k)
Calcule as integrais definidas:
(f)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(d) e .
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
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