Calcule as integrais definidas
(f) integral2^4(e^4 x+3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e polinomiais, além de entender como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral2^4 e^4x , dx + integral2^4 3x , dx

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral e^4x , dx = 14e^4x + C .
Sabemos que a integral de em relação a é , onde é uma constante.
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral x , dx = x^22 + C .
A integral de integral 3x , dx = 3 cdot x^22 = 3x^22 + C em relação a é . No nosso caso, :
Como temos um coeficiente 3, fica:

Passo 5

Agora, vamos combinar as duas integrais:
14e^4x + 3x^22 + C
Mas como estamos calculando uma integral definida de 2 a 4, não precisamos da constante . Vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de 2 a 4 na expressão integrada:
[14e^4x + 3x^22]2^4 = (14e^16 + 3 cdot 162) - (14e^8 + 3 cdot 42)
Simplificando:
= (14e^16 + 24) - (14e^8 + 6)

Passo 7

Agora, calculamos os valores:
= 14e^16 + 24 - 14e^8 - 6
= 14(e^16 - e^8) + 18

Resposta

A integral definida é igual a .

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