Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
y partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Para resolver, a gente precisa identificar os coeficientes da equação e calcular algo chamado discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação dada:
y partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Ela está na forma geral de uma EDP de segunda ordem:
A uxx + 2B uxy + C uyy = 0
Comparando as duas, vemos que:
  • (não tem termo misto )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante, que é dado por:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 4

A classificação da equação depende do valor do discriminante :
  • Se , é hiperbólica.
  • Se , é parabólica.
  • Se , é elíptica.
Então, analisando :
  • Quando , hiperbólica.
  • Quando , parabólica.
  • Quando , elíptica.

Resposta

A equação diferencial parcial é hiperbólica se , parabólica se e elíptica se .

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