Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Para resolver, a gente precisa identificar os coeficientes da equação e calcular algo chamado discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação dada:
Ela está na forma geral de uma EDP de segunda ordem:
Comparando as duas, vemos que:
-
-
(não tem termo misto ) -
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante, que é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
A classificação da equação depende do valor do discriminante
:
- Se
, é hiperbólica. - Se
, é parabólica. - Se
, é elíptica.
Então, analisando
:
- Quando
, → hiperbólica. - Quando
, → parabólica. - Quando
, → elíptica.
Resposta
A equação diferencial parcial é hiperbólica se
, parabólica se
e elíptica se
.