Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
partial^2 upartial x^2-(1+x^2)^2 partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial parcial (EDP) e precisa descobrir se ela é hiperbólica, parabólica ou elíptica. Para isso, vamos precisar entender a forma geral das EDPs de segunda ordem e usar algo chamado discriminante para classificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma EDP de segunda ordem em duas variáveis, digamos A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem e sem derivadas = 0 e :
Aqui, , e são funções que multiplicam as derivadas segundas.

Passo 3

No seu caso, a equação dada é:
partial^2 upartial x^2 - (1 + x^2)^2 partial^2 upartial y^2 = 0
Comparando com a forma geral, temos:
A = 1, B = 0, C = -(1 + x^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o discriminante da EDP, que é dado por:
De
Esse valor vai ajudar a determinar o tipo da equação.

Passo 5

Substituindo os valores:
De
Como é sempre positivo (já que é um quadrado), temos .

Passo 6

Com o discriminante positivo ( ), a classificação da EDP é hiperbólica.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é hiperbólica.

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