Calcule as integrais definidas
(k) integral0^2 v^2v^3-9 d v

Passo 1

Vamos resolver a integral definida .
Conteúdo da matéria: Integrais definidas e substituição.
O que vamos precisar: Entender como utilizar a substituição para simplificar a integral e calcular o valor final.

Passo 2

Identificando a substituição:
Observamos que o denominador u = v^3 - 9 está relacionado à derivada do numerador . Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Calculando a derivada de dudv = 3v^2 Rightarrow du = 3v^2 , dv Rightarrow dv = du3v^2 :
Para facilitar a integral, precisamos expressar em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral:
Vamos substituir integral v^2v^3-9 , dv = integral v^2u cdot du3v^2 = 13 integral 1u , du e na integral original.

Passo 5

Calculando a integral simples:
A integral de 13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de .
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original:
Substituímos 13 ln|v^3 - 9| + C na expressão.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 2.
[ 13 ln|v^3 - 9| ]0^2 = 13 ln|2^3 - 9| - 13 ln|0^3 - 9|
= 13 ln|8 - 9| - 13 ln|0 - 9|
= 13 ln| -1 | - 13 ln| -9 |
Como o logaritmo natural de um número positivo é definido, ignoramos o sinal negativo dentro dos valores absolutos.
= 13 ln(1) - 13 ln(9)
Sabemos que = 0 - 13 ln(9) , então:

Resposta

A integral definida é igual a .

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