Calcule as integrais definidas.
$(g)
;
$(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral definida:
. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se a gente substituir por uma nova variável, deixaria a integral mais fácil de resolver. Olhando para
, percebo que o expoente de
é
. Vamos então fazer uma substituição onde
.
Passo 3
Com essa substituição, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Então:
Queremos expressar
em termos de
, então dividimos ambos os lados por 3:
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Antes de prosseguir, precisamos ajustar os limites de integração de
para
.
Passo 5
Calculando os novos limites:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
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Calcule as integrais definidas.
$(f) ;
$(f)
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$(d) ;
$(d)
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$(j) .
$(j)