Calcule as integrais definidas.
$(j) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Esse tipo de integral pertence ao estudo das integrais no cálculo, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de integração básica que envolve logaritmos naturais.

Passo 2

A integral que temos é:
Vamos identificar a função que está no denominador, que é . Para integrar , podemos usar a substituição simples.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração de para :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os novos limites de integração são de 1 a 5.

Passo 5

Substituindo na integral original:

Passo 6

A integral de em relação a é o logaritmo natural:
Como é positivo no intervalo, podemos retirar o valor absoluto:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da integral nos limites:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral definida é igual a .

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