Calcule as integrais definidas:
(h) integral0^pi3 tg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente o cálculo de integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
tan x = sin xcos x
Isso vai facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de integral tan x , dx = -ln |cos x| + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Essa fórmula é derivada usando uma substituição simples na integral.

Passo 4

Como a integral é definida, vamos aplicar os limites de integração. Ou seja, vamos calcular:
[-ln |cos x|]0^pi3
Isso significa que vamos substituir por e depois por 0, e finalmente subtrair os resultados.

Passo 5

Vamos substituir os valores:
Para cos(pi3) = 12 :
-ln (12) = ln 2
Então:
cos(0) = 1
Para -ln(1) = 0 :
Então:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
ln 2

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