Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(g) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que está limitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo, especialmente integração, para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Podemos fatorar o :
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 5

Agora, precisamos saber qual curva está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos testar um valor de em cada intervalo:
  • Entre e : Vamos escolher .
    Aqui, está acima de .
  • Entre e : Vamos escolher .
    Aqui, está acima de .

Passo 6

Agora que sabemos qual curva está acima em cada intervalo, vamos montar as integrais para calcular a área:
Á

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Calculando nos limites:
Segunda Integral:
Calculando nos limites:

Passo 8

Finalmente, somamos as duas áreas encontradas:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas, aproximadamente 3,08.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e .
Calcule as integrais definidas:
(h)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(b)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(f)