Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(g)
e
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
no plano que está limitada pelas curvas
e
. Vamos usar cálculo, especialmente integração, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Podemos fatorar o
:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 5
Agora, precisamos saber qual curva está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos testar um valor de
em cada intervalo:
-
Entre
e : Vamos escolher . Aqui,está acima de . -
Entre
e : Vamos escolher . Aqui,está acima de .
Passo 6
Agora que sabemos qual curva está acima em cada intervalo, vamos montar as integrais para calcular a área:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Calculando nos limites:
Segunda Integral:
Calculando nos limites:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas, aproximadamente 3,08.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e
.
(b)
Calcule as integrais definidas:
(h)
(h)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(b)
(b)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(f)
(f)