Encontrar a função f tal que:
© integral raizx^2-1 cdot f^prime(x) d x=7 x^2+c e f(raiz3)=7 raiz2

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a função integral raizx^2-1 cdot f^prime(x) , dx = 7x^2 + c que satisfaz a seguinte equação:
Além disso, sabemos que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a raizx^2-1 cdot f^prime(x) = ddx(7x^2 + c) para eliminar a integral. Ao fazer isso, temos:
raizx^2-1 cdot f^prime(x) = 14x

Passo 3

Agora, isolamos f^prime(x) = 14xraizx^2-1 :
Essa é a derivada da função .

Passo 4

Para encontrar a função f(x) = integral 14xraizx^2-1 , dx , vamos integrar f(x) = integral 14xraizu cdot du2x = 7 integral u^-1/2 , du = 14raizu + C = 14raizx^2-1 + C :
Fazemos uma substituição , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial 7raiz2 = 14raiz(raiz3)^2-1 + C para encontrar a constante 7raiz2 = 14raiz2 + C implies C = -7raiz2 :

Resposta

A função é .

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