A equação da reta tangente a uma curva no ponto -1,3 é y = 3. Sabendo que em um ponto (x, y) qualquer da curva f'(x) = 3 x^2 + x + b ( b constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma curva sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto -1,3 é y = 3. Além disso, nos dizem que a derivada da função em qualquer ponto (x, y) é , onde b é uma constante que precisamos descobrir. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais para achar a equação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente y = 3 no ponto -1,3. Isso quer dizer que, nesse ponto, a inclinação da curva é a mesma da reta tangente. A inclinação da reta y = 3 é zero, já que ela é horizontal. Portanto, a derivada da função no ponto deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação da derivada no ponto . Sabemos que:
E como a inclinação nesse ponto é zero, temos:

Passo 4

Com o valor de b encontrado, a derivada da função fica:
Para encontrar a equação da curva, precisamos integrar a derivada em relação a x:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a função f(x) é:
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 6

Para achar o valor de C, usamos o ponto dado na curva, que é -1,3. Substituindo e na equação:

Resposta

A equação da curva é:

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