A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma curva sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é . Além disso, nos dizem que a derivada da função em qualquer ponto é , onde é uma constante que precisamos descobrir. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais para achar a equação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente no ponto . Isso quer dizer que, nesse ponto, a inclinação da curva é a mesma da reta tangente. A inclinação da reta é zero, já que ela é horizontal. Portanto, a derivada da função no ponto deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação da derivada no ponto . Sabemos que:
E como a inclinação nesse ponto é zero, temos:

Passo 4

Com o valor de encontrado, a derivada da função fica:
Para encontrar a equação da curva, precisamos integrar a derivada em relação a :

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a função é:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 6

Para achar o valor de , usamos o ponto dado na curva, que é . Substituindo e na equação:

Resposta

A equação da curva é:

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Encontrar a função tal que:
© e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(e) e
Calcule as integrais definidas:
(h)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e .