A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma curva sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto
é
. Além disso, nos dizem que a derivada da função em qualquer ponto
é
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais para achar a equação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente
no ponto
. Isso quer dizer que, nesse ponto, a inclinação da curva é a mesma da reta tangente. A inclinação da reta
é zero, já que ela é horizontal. Portanto, a derivada da função no ponto
deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação da derivada no ponto
. Sabemos que:
E como a inclinação nesse ponto é zero, temos:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, a derivada da função fica:
Para encontrar a equação da curva, precisamos integrar a derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a função
é:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 6
Para achar o valor de
, usamos o ponto dado na curva, que é
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A equação da curva é:
Exercícios relacionados
Encontrar a função
tal que:
© e
©
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(e) e
(e)
Calcule as integrais definidas:
(h)
(h)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e
.
(b)