Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas , e . Esse tipo de problema envolve cálculo integral, onde a gente usa integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se encontram e depois integrar a função adequada dentro desses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos:
  1. : Essa é uma equação quadrática em , que representa uma parábola aberta para a esquerda ou direita.
  2. : Essa é uma linha horizontal que intercepta o eixo no ponto 1.
  3. : Essa é a reta vertical que representa o eixo .
Para achar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde elas se cruzam, ou seja, os pontos de interseção.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto de interseção é .
Agora, vamos encontrar onde intersecta :
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região . A curva corta o eixo nos pontos e , e cruza a linha no ponto .
A região está limitada por de baixo, (eixo ) de um lado e de outro.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração para o . Observando os pontos de interseção, a região está entre e .
A área pode ser calculada integrando a diferença entre a curva e (já que é o limite inferior) em relação a , de a .

Passo 6

A fórmula para a área entre duas curvas em função de é:
Aqui, e . Os limites de integração são e .

Passo 7

Vamos montar a integral:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 9

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos o valor obtido em do valor obtido em :

Resposta

A área da região é 18 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(h)
A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(g) e .
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(b)