Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área da região
no plano que é limitada pelas curvas
,
e
. Esse tipo de problema envolve cálculo integral, onde a gente usa integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se encontram e depois integrar a função adequada dentro desses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos:
-
: Essa é uma equação quadrática em , que representa uma parábola aberta para a esquerda ou direita. -
: Essa é uma linha horizontal que intercepta o eixo no ponto 1. -
: Essa é a reta vertical que representa o eixo .
Para achar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde elas se cruzam, ou seja, os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Substituindo
na primeira equação:
Então, um ponto de interseção é
.
Agora, vamos encontrar onde
intersecta
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região
. A curva
corta o eixo
nos pontos
e
, e cruza a linha
no ponto
.
A região
está limitada por
de baixo,
(eixo
) de um lado e
de outro.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração para o
. Observando os pontos de interseção, a região está entre
e
.
A área
pode ser calculada integrando a diferença entre a curva
e
(já que
é o limite inferior) em relação a
, de
a
.
Passo 6
A fórmula para a área entre duas curvas em função de
é:
Aqui,
e
. Os limites de integração são
e
.
Passo 7
Vamos montar a integral:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos o valor obtido em
do valor obtido em
:
Resposta
A área da região
é 18 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas:
(h)
(h)
A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(g) e
.
(g)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(b)
(b)