Calcule as integrais definidas.
$(i) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que é . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada e um polinômio dentro dela. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos deixar . Essa escolha é legal porque a derivada de em relação a aparece na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar :
Precisamos de na integral, então rearranjamos para:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Multiplicando pela constante :
Agora, avaliamos de a :

Resposta

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Calcule as integrais definidas.
;
Calcule as integrais definidas.
$(e) ;
Considere uma funçāo contínua.
(a) Use integraçāo por partes para provar que
Determine e de modo que
e use esse resultado para calcular . Dica. Lembre-se que para quaisquer .