Considere uma funçāo contínua.
(a) Use integraçāo por partes para provar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, temos uma função contínua e precisamos usar a integração por partes para provar que:
Vamos precisar entender o que é integração por partes e como escolher as partes certas para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da derivada e é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Para aplicar a integração por partes na integral , vamos fazer as seguintes escolhas:
Essa escolha facilita a derivação e integração das partes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar e :
Derivando :
Integrando :
Mas aqui precisamos de uma expressão para , então vamos manter por enquanto.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo as partes que encontramos:
No entanto, isso não está nos levando diretamente à expressão que queremos provar. Vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar a escolha inicial. Em vez de , vamos definir:
Agora, encontramos e :

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo as partes:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas.
$(i) ;
Calcule as integrais definidas.
;
Determine e de modo que
e use esse resultado para calcular . Dica. Lembre-se que para quaisquer .
Considere a função .
Calcule a velocidade instantânea .