Considere
uma funçāo contínua.
(a) Use integraçāo por partes para provar que
(a) Use integraçāo por partes para provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, temos uma função contínua
e precisamos usar a integração por partes para provar que:
Vamos precisar entender o que é integração por partes e como escolher as partes certas para aplicar essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da derivada e é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Para aplicar a integração por partes na integral
, vamos fazer as seguintes escolhas:
Essa escolha facilita a derivação e integração das partes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Mas aqui precisamos de uma expressão para
, então vamos manter
por enquanto.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo as partes que encontramos:
No entanto, isso não está nos levando diretamente à expressão que queremos provar. Vamos ajustar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos reconsiderar a escolha inicial. Em vez de
, vamos definir:
Agora, encontramos
e
:
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo as partes:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas.
$(i) ;
$(i)
Calcule as integrais definidas.
$© ;
$©
Determine
e
de modo que
e use esse resultado para calcular
.
Dica. Lembre-se que
para quaisquer
.
Considere a função
.
Calcule a velocidade instantânea .
Calcule a velocidade instantânea