Considere f uma funçāo contínua.
(a) Use integraçāo por partes para provar que
integral f(x) d x=x f(x)-integral x d fd x(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, temos uma função contínua integral f(x) , dx = x f(x) - integral x dfdx(x) , dx e precisamos usar a integração por partes para provar que:
Vamos precisar entender o que é integração por partes e como escolher as partes certas para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da derivada e é dada por:
integral u , dv = u v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Para aplicar a integração por partes na integral u = x e dv = f(x) , dx , vamos fazer as seguintes escolhas:
Essa escolha facilita a derivação e integração das partes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx = dx e v = integral dv = integral f(x) , dx :
Derivando :
Integrando :
Mas aqui precisamos de uma expressão para , então vamos manter por enquanto.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo as partes que encontramos:
integral x f(x) , dx = x ( integral f(x) , dx ) - integral ( integral f(x) , dx ) dx
No entanto, isso não está nos levando diretamente à expressão que queremos provar. Vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar a escolha inicial. Em vez de u = f(x) e dv = dx , vamos definir:
du = dfdx(x) , dx e v = integral dv = integral dx = x
Agora, encontramos e :

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo as partes:
integral f(x) , dx = f(x) cdot x - integral x cdot dfdx(x) , dx

Resposta

Portanto, provamos que:
integral f(x) , dx = x f(x) - integral x dfdx(x) , dx

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