Calcule as integrais definidas.
$(e) ;

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos calcular a integral definida
Essa integral está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar uma substitição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos no numerador:
Então, a integral fica:

Passo 3

Observamos que temos no numerador e no denominador. Para simplificar, vamos tentar expressar em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, para resolver a integral
vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir:

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :
Queremos expressar em termos de , então dividimos ambos os lados por :
Mas ainda temos um no denominador, o que não é ideal. Vamos reconsiderar nossa substituição.

Passo 6

Vamos tentar uma substituição diferente. Observe que no numerador temos apenas , e no denominador . Podemos expressar em termos de :
Como , então:
No entanto, isso complica a integral. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos reescrever a integral original de forma diferente:
Isso não simplifica muito, então vamos tentar integrar diretamente.

Passo 8

Vamos retornar à integral simplificada:
Aqui, tentamos a substituição , mas ainda temos dificuldades devido ao no numerador. Vamos tentar uma fração parcial.

Passo 9

Vamos decompor a fração:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral se torna:

Passo 11

Reconhecemos que essa é a forma da integral da função arco-tangente. A integral de é .
Aplicando isso:

Passo 12

Agora, voltando aos limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Sabemos que e .
Então:

Resposta

A integral definida é:

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$(h) ;
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;
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$(i) ;