Calcule as integrais definidas.
$(e)
;
$(e)
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos calcular a integral definida
Essa integral está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar uma substitição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos no numerador:
Então, a integral fica:
Passo 3
Observamos que temos
no numerador e
no denominador. Para simplificar, vamos tentar expressar
em termos de
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, para resolver a integral
vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir:
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Queremos expressar
em termos de
, então dividimos ambos os lados por
:
Mas ainda temos um
no denominador, o que não é ideal. Vamos reconsiderar nossa substituição.
Passo 6
Vamos tentar uma substituição diferente. Observe que no numerador temos apenas
, e no denominador
. Podemos expressar
em termos de
:
Como
, então:
No entanto, isso complica a integral. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos reescrever a integral original de forma diferente:
Isso não simplifica muito, então vamos tentar integrar diretamente.
Passo 8
Vamos retornar à integral simplificada:
Aqui, tentamos a substituição
, mas ainda temos dificuldades devido ao
no numerador. Vamos tentar uma fração parcial.
Passo 9
Vamos decompor a fração:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral se torna:
Passo 11
Reconhecemos que essa é a forma da integral da função arco-tangente. A integral de
é
.
Aplicando isso:
Passo 12
Agora, voltando aos limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Sabemos que
e
.
Então:
Resposta
A integral definida é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas.
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Calcule as integrais definidas.
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Calcule as integrais definidas.
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Calcule as integrais definidas.
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