Determine e de modo que
e use esse resultado para calcular . Dica. Lembre-se que para quaisquer .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e de forma que
Depois, vamos usar esse resultado para calcular a integral . Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com a soma de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
Essa fórmula nos ajuda a transformar produtos de senos e cossenos em somas, o que é muito útil para resolver o exercício.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade para . Vamos considerar e :
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, isolamos :
Mas queremos expressar como uma soma de senos, então vamos usar outra identidade. Sabemos que:
Aplicando isso com e :
Comparando com a expressão dada no exercício:
Então, podemos identificar que:

Passo 4

Agora que encontramos e , vamos calcular a integral . Substituindo na expressão:
Podemos separar a integral:
Agora, integramos cada termo:
Simplificando:

Resposta

, e

Exercícios relacionados

Considere uma funçāo contínua.
(a) Use integraçāo por partes para provar que
Calcule as integrais definidas.
$(i) ;
Considere a função .
Calcule a velocidade instantânea .
Considere a função .
Mostre que , qualquer que seja o valor de . Ou seja, nesse exemplo a partícula está se deslocando com velocidade constante.