Determine alpha e beta de modo que
sin (6 x) cos (x)=12(sin (alpha x)+sin (beta x))
e use esse resultado para calcular integral sin (6 x) cos (x) d x. Dica. Lembre-se que sin (x+y)=sin (x) cos (y)+ sin (y) cos (x) para quaisquer x, y in R mid.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de sin (6x) cos (x) = 12(sin (alpha x) + sin (beta x)) e de forma que
Depois, vamos usar esse resultado para calcular a integral . Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com a soma de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
sin (x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)
Essa fórmula nos ajuda a transformar produtos de senos e cossenos em somas, o que é muito útil para resolver o exercício.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade para sin(6x + x) = sin(6x) cos(x) + sin(x) cos(6x) . Vamos considerar sin(7x) = sin(6x) cos(x) + sin(x) cos(6x) e sin(6x) cos(x) = sin(7x) - sin(x) cos(6x) :
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Simplificando o lado esquerdo:
sin(6x) cos(x) = 12 [sin(6x + x) + sin(6x - x)] = 12 [sin(7x) + sin(5x)]
Agora, isolamos sin(6x) cos(x) = 12 (sin(alpha x) + sin(beta x)) :
alpha = 7 e beta = 5
Mas queremos expressar como uma soma de senos, então vamos usar outra identidade. Sabemos que:
Aplicando isso com e :
Comparando com a expressão dada no exercício:
Então, podemos identificar que:

Passo 4

Agora que encontramos integral sin(6x) cos(x) , dx = integral 12 (sin(7x) + sin(5x)) , dx e 12 integral sin(7x) , dx + 12 integral sin(5x) , dx , vamos calcular a integral 12 ( -17 cos(7x) ) + 12 ( -15 cos(5x) ) + C . Substituindo na expressão:
- 114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C
Podemos separar a integral:
Agora, integramos cada termo:
Simplificando:

Resposta

integral sin(6x) cos(x) , dx = -114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C , e

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