Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de geometria analítica, onde vamos usar conceitos de interseção de curvas e integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso significa que precisamos achar os pontos onde e são verdadeiros ao mesmo tempo. Para isso, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Expandindo a equação:
Rearranjando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
A fórmula de Bhaskara para uma equação é:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos dois valores para :
Passo 6
Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que definem nas duas curvas, no intervalo de a .
A curva pode ser reescrita como:
E a curva pode ser reescrita como:
Passo 8
A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e , e os limites de integração são de a .
Passo 9
Vamos montar a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 11
Vamos avaliar a expressão no limite superior () e no limite inferior ():