Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
© e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de geometria analítica, onde vamos usar conceitos de interseção de curvas e integração para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso significa que precisamos achar os pontos onde e são verdadeiros ao mesmo tempo. Para isso, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Expandindo a equação:
Rearranjando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

A fórmula de Bhaskara para uma equação é:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos dois valores para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que definem nas duas curvas, no intervalo de a .
A curva pode ser reescrita como:
E a curva pode ser reescrita como:

Passo 8

A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e , e os limites de integração são de a .

Passo 9

Vamos montar a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 10

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 11

Vamos avaliar a expressão no limite superior ( ) e no limite inferior ( ):
Simplificando:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Calcule as integrais definidas:
(n)
Calcule as integrais definidas:
(i)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(i) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(o) e .