Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região
no plano que é limitada pelas curvas
e
. Isso envolve um pouco de geometria analítica, onde vamos usar conceitos de interseção de curvas e integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso significa que precisamos achar os pontos onde
e
são verdadeiros ao mesmo tempo. Para isso, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Expandindo a equação:
Rearranjando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
A fórmula de Bhaskara para uma equação
é:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos dois valores para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que definem
nas duas curvas, no intervalo de
a
.
A curva
pode ser reescrita como:
E a curva
pode ser reescrita como:
Passo 8
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 9
Vamos montar a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 11
Vamos avaliar a expressão no limite superior (
) e no limite inferior (
):
Simplificando:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.