Calcule as integrais indefinidas
i) integral raiz4-x^2 d xx^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica apropriada e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão x = 2 sin theta . Observamos que a forma dx = 2 cos theta , dtheta sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4 sin^2 theta = 2 cos theta
Assim, temos que:
E a raiz fica:

Passo 3

Substituindo integral raiz4 - x^2x^4 , dx = integral 2 cos theta(2 sin theta)^4 cdot 2 cos theta , dtheta e = integral 2 cos theta cdot 2 cos theta16 sin^4 theta , dtheta = integral 4 cos^2 theta16 sin^4 theta , dtheta = integral cos^2 theta4 sin^4 theta , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
cos^2 theta = 1 - sin^2 theta
Então, a integral fica:
integral 1 - sin^2 theta4 sin^4 theta , dtheta = integral ( 14 sin^4 theta - 14 sin^2 theta ) , dtheta
Isso pode ser reescrito como:
14 integral csc^4 theta , dtheta - 14 integral csc^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C
E usando uma integral padrão para integral csc^4 theta , dtheta = -cot theta - cot^3 theta3 + C :
14 ( -cot theta - cot^3 theta3 ) - 14 ( -cot theta ) + C
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 6

Simplificando os termos:
-14 cot theta - 112 cot^3 theta + 14 cot theta + C = -112 cot^3 theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 2 sin theta implies sin theta = x2 . Lembrando que:
cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2x
E:
-112 ( raiz4 - x^2x )^3 + C = -(4 - x^2)^3/212 x^3 + C
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.

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