Calcule as integrais definidas ou impróprias
f) integral0^1 x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x) e dv = x , dx
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Voltando à expressão original:
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - x^24 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar entre esses limites.

Passo 8

Calculando nos limites:
[ x^22 ln(x) - x^24 ]0^1
Primeiro, substituindo 1^22 ln(1) - 1^24 = 12 cdot 0 - 14 = -14 :
0 - 0 = 0
Agora, substituindo . Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é .

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