Calcule as integrais indefinidas
m) integral t^2(x)sec ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral indefinida de t^2(x)sec ^3(x) , dx. Esse é um exercício de cálculo integral que envolve funções trigonométricas. Vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas de trigonometria pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas funções. Sabemos que:
  • sec(x) é igual a 1cos(x).
  • Se t(x) for tan(x), então tan(x) = sin(x)cos(x).
Então, vamos assumir que t(x) = tan(x). Assim, a expressão fica:
tan^2(x)sec^3(x) = (sin(x)cos(x))^2(1cos(x))^3 = sin^2(x)cos^2(x)1cos^3(x) = sin^2(x) cos(x)

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral sin^2(x) cos(x) , dx
Aqui, vamos usar uma substituição u. Vamos deixar:
u = sin(x) du = cos(x) , dx

Passo 4

Com essa substituição, a integral se transforma em:
integral u^2 , du
Integrando u^2 em relação a u, temos:
u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = sin(x):
sin^3(x)3 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral t^2(x)sec ^3(x) , dx = sin^3(x)3 + C

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