Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função paralela(s) à reta dada:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função e que são paralelas à reta . Isso envolve cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar as tangentes a curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação (coeficiente angular) da reta . Para isso, precisamos rearranjar a equação dela na forma , onde é a inclinação.
Então, a inclinação de é .

Passo 3

Como queremos que as retas tangentes sejam paralelas à reta , elas também precisam ter a mesma inclinação, ou seja, . A inclinação da reta tangente ao gráfico de em algum ponto é dada pela derivada de em , .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Agora, igualamos a derivada à inclinação desejada:

Passo 5

Resolvendo a equação cúbica . Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Vamos tentar encontrar suas raízes. Testando valores simples:
Para :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar:
Resolvendo com a fórmula quadrática:
Então, ou .

Passo 6

Agora, temos os valores de onde a derivada é -7: e .
Vamos encontrar os pontos correspondentes na função :
Para :
Para :
Agora, usamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Sabemos que , então:
Para :
Para :

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de paralelas à reta são:

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Quem está certo? Todos obtiveram a mesma resposta?
Fica de alerta que nesse tipo de exercício a resposta do gabarito pode parecer diferente da sua e mesmo assim ambas estarem corretas.
Se e calcule