Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função
e que são paralelas à reta
. Isso envolve cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar as tangentes a curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação (coeficiente angular) da reta
. Para isso, precisamos rearranjar a equação dela na forma
, onde
é a inclinação.
Então, a inclinação de
é
.
Passo 3
Como queremos que as retas tangentes sejam paralelas à reta
, elas também precisam ter a mesma inclinação, ou seja,
. A inclinação da reta tangente ao gráfico de
em algum ponto
é dada pela derivada de
em
,
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada à inclinação desejada:
Passo 5
Resolvendo a equação cúbica
. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Vamos tentar encontrar suas raízes. Testando valores simples:
Para
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar:
Resolvendo
com a fórmula quadrática:
Então,
ou
.
Passo 6
Agora, temos os valores de
onde a derivada é -7:
e
.
Vamos encontrar os pontos correspondentes na função
:
Para
:
Para
:
Agora, usamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Sabemos que
, então:
Para
:
Para
:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
paralelas à reta
são:
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Quem está certo? Todos obtiveram a mesma resposta?
Fica de alerta que nesse tipo de exercício a resposta do gabarito pode parecer diferente da sua e mesmo assim ambas estarem corretas.
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Se
e
calcule