Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais.
Passo 2
Vamos começar simplificando o denominador . Podemos fatorar essa expressão:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a fração usando frações parciais. Queremos escrever na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
A = 2 B = -2 C = 1
Passo 6
Substituímos os valores de x + 2x(x^2 + 1) = 2x + -2x + 1x^2 + 1 , integral 2x , dx + integral -2xx^2 + 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx e na expressão das frações parciais: