Calcule as integrais indefinidas
j) integral x+2x^3+x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador x^3 + x = x(x^2 + 1) . Podemos fatorar essa expressão:
integral x + 2x(x^2 + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração usando frações parciais. Queremos escrever x + 2x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1 na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x + 2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
x + 2 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Simplificando:
x + 2 = (A + B)x^2 + Cx + A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 C = 1 A = 2
Resolvendo o sistema:
A = 2 B = -2 C = 1

Passo 6

Substituímos os valores de x + 2x(x^2 + 1) = 2x + -2x + 1x^2 + 1 , integral 2x , dx + integral -2xx^2 + 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx e na expressão das frações parciais:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx = 2 ln|x|
integral -2xx^2 + 1 , dx = -ln(x^2 + 1)
integral 1x^2 + 1 , dx = tan^-1(x)

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln|x| - ln(x^2 + 1) + tan^-1(x) + C
onde é a constante de integração.

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