Calcule as integrais indefinidas
j)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador . Podemos fatorar essa expressão:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração usando frações parciais. Queremos escrever na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:

Passo 6

Substituímos os valores de , e na expressão das frações parciais:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

A integral indefinida é:
onde é a constante de integração.

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