Calcule os limites
e)
e)
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
se aproxima de
por valores menores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
e
quando
se aproxima de
pela esquerda.
-
, e conforme se aproxima de por valores menores, se aproxima de pelo lado positivo. Portanto, tende a porque o logaritmo de um número que se aproxima de zero pelo lado positivo é um número muito negativo. -
. Conforme se aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . Assim, tende a , e também tende a .
Passo 3
Temos, portanto, uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver limites desse tipo, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas
e
f) A área da região delimitada pela curva
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
c)
Calcule as integrais indefinidas
k)
k)
Calcule as integrais definidas ou impróprias
e)
e)