Calcule os limites
e) lim x pi^-2 Ln(cos (x))Ln(tg(x))

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando se aproxima de por valores menores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e quando se aproxima de pela esquerda.
  • , e conforme se aproxima de por valores menores, se aproxima de pelo lado positivo. Portanto, tende a porque o logaritmo de um número que se aproxima de zero pelo lado positivo é um número muito negativo.
  • . Conforme se aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . Assim, tende a , e também tende a .

Passo 3

Temos, portanto, uma forma indeterminada do tipo . Para resolver limites desse tipo, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ln(cos(x)) = -sin(x)cos(x) = -tan(x) :
  • Derivada de ddx ln(tan(x)) = 1tan(x) cdot sec^2(x) = sec^2(x)tan(x) = 1sin(x)cos(x) :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
limx to pi2^- ln(cos x)ln(tan x) = limx to pi2^- -tan(x)1sin(x)cos(x)

Passo 6

Simplificamos a expressão:
-tan(x)1sin(x)cos(x) = -tan(x) cdot sin(x)cos(x) = -sin(x)

Passo 7

Agora, calculamos o limite de limx to pi2^- -sin(x) = -sin(pi2) = -1 quando se aproxima de :

Resposta

O limite é .

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