Calcule os limites
e)

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando se aproxima de por valores menores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e quando se aproxima de pela esquerda.
  • , e conforme se aproxima de por valores menores, se aproxima de pelo lado positivo. Portanto, tende a porque o logaritmo de um número que se aproxima de zero pelo lado positivo é um número muito negativo.
  • . Conforme se aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . Assim, tende a , e também tende a .

Passo 3

Temos, portanto, uma forma indeterminada do tipo . Para resolver limites desse tipo, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:

Passo 6

Simplificamos a expressão:

Passo 7

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas e
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
Calcule as integrais indefinidas
k)
Calcule as integrais definidas ou impróprias
e)