Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar simplificar a fração e utilizar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração . Observamos que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (grau 3), então podemos fazer uma divisão polinomial ou manipular a expressão para facilitar a simplificação.
Vamos dividir os polinômios:
Passo 3
Agora, fatoramos o denominador :
E reescrevemos a expressão restante:
Passo 4
Para simplificar , usamos frações parciais. Suponhamos que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo e agrupando os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
B = 12, 2A + 12 = 0 Rightarrow A = -14, C = 1 - A = 54
Passo 6
Substituindo os valores de x^2+1x^2(x + 2) = -14x + 12x^2 + 54(x + 2) , -4(x^2+1)x^2(x + 2) = 1x - 2x^2 - 5x + 2 e na expressão das frações parciais:
Multiplicando por para voltar à expressão original:
Passo 7
Agora, substituímos na integral original:
integral3^4 (1 + 1x - 2x^2 - 5x + 2) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x
integral 1x , dx = ln|x|
integral -2x^2 , dx = 2 cdot 1x
integral -5x + 2 , dx = -5 ln|x + 2|
Juntando tudo:
x + ln|x| + 2x - 5 ln|x + 2|
Passo 9
Agora, avaliamos a expressão de 4 + ln 4 + 24 - 5 ln 6 e 3 + ln 3 + 23 - 5 ln 5 :