Calcule as integrais definidas e indefinidas.
© integral3^4 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar simplificar a fração e utilizar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 = 1 + -4x^2-4x^3+2x^2 . Observamos que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (grau 3), então podemos fazer uma divisão polinomial ou manipular a expressão para facilitar a simplificação.
Vamos dividir os polinômios:

Passo 3

Agora, fatoramos o denominador x^3+2x^2 = x^2(x + 2) :
-4x^2-4x^3+2x^2 = -4(x^2+1)x^2(x + 2)
E reescrevemos a expressão restante:

Passo 4

Para simplificar x^2+1x^2(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + 2 , usamos frações parciais. Suponhamos que:
x^2+1 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo e agrupando os termos:
x^2+1 = (A + C) x^2 + (2A + B) x + 2B
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = 1 2A + B = 0 2B = 1
Resolvendo o sistema:
B = 12, 2A + 12 = 0 Rightarrow A = -14, C = 1 - A = 54

Passo 6

Substituindo os valores de x^2+1x^2(x + 2) = -14x + 12x^2 + 54(x + 2) , -4(x^2+1)x^2(x + 2) = 1x - 2x^2 - 5x + 2 e na expressão das frações parciais:
Multiplicando por para voltar à expressão original:

Passo 7

Agora, substituímos na integral original:
integral3^4 (1 + 1x - 2x^2 - 5x + 2) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x
integral 1x , dx = ln|x|
integral -2x^2 , dx = 2 cdot 1x
integral -5x + 2 , dx = -5 ln|x + 2|
Juntando tudo:
x + ln|x| + 2x - 5 ln|x + 2|

Passo 9

Agora, avaliamos a expressão de 4 + ln 4 + 24 - 5 ln 6 e 3 + ln 3 + 23 - 5 ln 5 :
Para (4 + ln 4 + 12 - 5 ln 6) - (3 + ln 3 + 23 - 5 ln 5) :
1 + ln(43) + (12 - 23) + 5 ln(56)
Para :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a:
56 + ln(43) + 5 ln(56)

Exercícios relacionados