Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma equação diferencial de menor ordem que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como as soluções exponenciais se relacionam com a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, sabemos que as soluções da forma
indicam que estamos lidando com uma equação diferencial com coeficientes constantes. O próximo passo é identificar os valores de
que tornam
uma solução da equação. No nosso caso, as soluções são
e
, então os valores de
são 2 e -1.
Passo 3
Com os valores de
identificados, podemos construir a equação característica. Para duas soluções
e
, a equação característica é dada por:
Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa equação:
Então, a equação característica é
.
Passo 5
A equação característica está relacionada diretamente com a equação diferencial original. Para cada termo
na equação característica, temos um derivado correspondente na equação diferencial. Assim, a equação diferencial associada à equação característica
é:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
,
a primeira derivada, e
a função original.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem é: