Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = C1 * e^(2 * x) + C2 * e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma equação diferencial de menor ordem que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como as soluções exponenciais se relacionam com a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, sabemos que as soluções da forma indicam que estamos lidando com uma equação diferencial com coeficientes constantes. O próximo passo é identificar os valores de que tornam uma solução da equação. No nosso caso, as soluções são e , então os valores de são 2 e -1.

Passo 3

Com os valores de identificados, podemos construir a equação característica. Para duas soluções e , a equação característica é dada por:
Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir essa equação:
Então, a equação característica é .

Passo 5

A equação característica está relacionada diretamente com a equação diferencial original. Para cada termo na equação característica, temos um derivado correspondente na equação diferencial. Assim, a equação diferencial associada à equação característica é:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , a primeira derivada, e a função original.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem é:

Exercícios relacionados