Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: x^2 + y^2 = C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que representa uma família de curvas: , onde é uma constante arbitrária. O objetivo é encontrar a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha essas constantes arbitrárias e que tenha essas curvas como soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma constante arbitrária, o que significa que temos uma família de soluções parametrizada por . Para eliminar e encontrar uma relação envolvendo apenas , e suas derivadas, a gente precisa derivar a equação original em relação a .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre que é uma função de , então usamos a regra da cadeia para derivar :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, nossa equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Essa equação é a equação diferencial que estamos procurando. Ela relaciona , e a derivada de em relação a , sem conter a constante arbitrária . Além disso, é de primeira ordem, que é a menor ordem possível para essa família de soluções.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

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