Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que representa uma família de curvas:
, onde
é uma constante arbitrária. O objetivo é encontrar a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha essas constantes arbitrárias e que tenha essas curvas como soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma constante arbitrária, o que significa que temos uma família de soluções parametrizada por
. Para eliminar
e encontrar uma relação envolvendo apenas
,
e suas derivadas, a gente precisa derivar a equação original em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia para derivar
:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, nossa equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Essa equação
é a equação diferencial que estamos procurando. Ela relaciona
,
e a derivada de
em relação a
, sem conter a constante arbitrária
. Além disso, é de primeira ordem, que é a menor ordem possível para essa família de soluções.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: