Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de frações mais simples. No caso, como temos e no denominador, a decomposição será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos escolher valores estratégicos para para simplificar:
Para :
Para :
Agora, temos e . Para encontrar e , podemos expandir e comparar os coeficientes:
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Comparando com o lado esquerdo , temos:
Já sabemos que e . Substituindo na terceira equação:
E da primeira equação:
Passo 4
Agora que temos os valores de 1s^2(s-1)^2 = 2s + 1s^2 - 2s-1 + 1(s-1)^2 , , e , substituímos de volta na decomposição de frações parciais:
Passo 5
Com a fração decomposta, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2s , ds + integral 1s^2 , ds - integral 2s-1 , ds + integral 1(s-1)^2 , ds