Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(d) integral d ss^2(s-1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração 1s^2(s-1)^2 = As + Bs^2 + Cs-1 + D(s-1)^2 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de frações mais simples. No caso, como temos e no denominador, a decomposição será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A cdot s (s-1)^2 + B cdot (s-1)^2 + C cdot s^2 (s-1) + D cdot s^2 , 1 = A cdot 0 cdot ( -1 )^2 + B cdot (-1)^2 + C cdot 0^2 cdot (-1) + D cdot 0^2 Rightarrow 1 = B , 1 = A cdot 1 cdot 0^2 + B cdot 0^2 + C cdot 1^2 cdot 0 + D cdot 1^2 Rightarrow 1 = D e 1 = A s (s^2 - 2s + 1) + B (s^2 - 2s + 1) + C s^2 (s - 1) + D s^2 . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A s^3 - 2A s^2 + A s + B s^2 - 2B s + B + C s^3 - C s^2 + D s^2 :
1 = (A + C) s^3 + (-2A + B - C + D) s^2 + (A - 2B) s + B
Vamos escolher valores estratégicos para A + C = 0 -2A + B - C + D = 0 A - 2B = 0 B = 1 para simplificar:
  • Para A - 2(1) = 0 Rightarrow A = 2 :
2 + C = 0 Rightarrow C = -2
  • Para :
Agora, temos e . Para encontrar e , podemos expandir e comparar os coeficientes:
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Comparando com o lado esquerdo , temos:
Já sabemos que e . Substituindo na terceira equação:
E da primeira equação:

Passo 4

Agora que temos os valores de 1s^2(s-1)^2 = 2s + 1s^2 - 2s-1 + 1(s-1)^2 , , e , substituímos de volta na decomposição de frações parciais:

Passo 5

Com a fração decomposta, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2s , ds + integral 1s^2 , ds - integral 2s-1 , ds + integral 1(s-1)^2 , ds
Vamos integrar cada um:

Resposta

Somando todas as integrais, a solução geral é:
2 ln |s| - 1s - 2 ln |s-1| - 1s-1 + C
Onde é a constante de integração.

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