Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial da menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções as curvas definidas por
. Basicamente, vamos trabalhar com equações diferenciais e manipular um pouco para chegar na equação que buscamos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação
significa. Aqui,
é uma constante arbitrária, o que indica que temos uma família de soluções parametrizadas por
. Nosso objetivo é eliminar essa constante e encontrar uma equação que relacione
e suas derivadas sem a presença de
.
Passo 3
Para eliminar a constante
, vamos isolar
na equação original. Temos:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
e
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a equação original em relação a
para envolver a derivada de
. Diferenciando
, aplicamos a regra do produto no lado direito:
Aqui, usamos
para representar a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Nosso próximo passo é substituir a expressão de
que encontramos no Passo 3 na equação diferenciada:
Agora, vamos simplificar essa equação para isolar
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuímos
no lado esquerdo:
Passo 7
Agora, vamos organizar a equação para isolar os termos com
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a equação diferencial que buscamos, sem constantes arbitrárias e de menor ordem possível.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível que atende às condições do problema é: