Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: x^3 = C(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial da menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções as curvas definidas por . Basicamente, vamos trabalhar com equações diferenciais e manipular um pouco para chegar na equação que buscamos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. Aqui, é uma constante arbitrária, o que indica que temos uma família de soluções parametrizadas por . Nosso objetivo é eliminar essa constante e encontrar uma equação que relacione e suas derivadas sem a presença de .

Passo 3

Para eliminar a constante , vamos isolar na equação original. Temos:
Isso nos dá uma expressão para em termos de e .

Passo 4

Agora, vamos derivar a equação original em relação a para envolver a derivada de . Diferenciando , aplicamos a regra do produto no lado direito:
Aqui, usamos para representar a derivada de em relação a .

Passo 5

Nosso próximo passo é substituir a expressão de que encontramos no Passo 3 na equação diferenciada:
Agora, vamos simplificar essa equação para isolar .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuímos no lado esquerdo:

Passo 7

Agora, vamos organizar a equação para isolar os termos com :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação diferencial que buscamos, sem constantes arbitrárias e de menor ordem possível.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível que atende às condições do problema é:

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