Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo cilindro parabólico
, inferiormente pelo plano
e lateralmente pelos planos
e
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos resolver um problema de cálculo de volume em geometria analítica. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado:
- Superiormente por um cilindro parabólico dado por
. - Inferiormente por um plano dado por
. - Lateralmente pelos planos
e .
Para resolver isso, vamos utilizar métodos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são úteis para calcular volumes de sólidos em espaços tridimensionais. Precisaremos identificar as funções que definem as superfícies superior e inferior, determinar os limites de integração e então calcular a integral dupla para encontrar o volume.
Passo 2
Determinar as Limites de Integração
Primeiro, vamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. Os limites laterais são fornecidos pelos planos
e
. Isso significa que a variável
varia de 0 a 4.
Agora, para cada valor de
entre 0 e 4, precisamos determinar os limites de
. Como não há restrição específica para
nos planos laterais, assumimos que
varia de
a
. No entanto, como estamos lidando com superfícies que limitam verticalmente, os valores de
serão naturalmente restritos pelas interseções dessas superfícies. Mas, para simplificar, vamos considerar que
varia de
a
(já que
de
), garantindo que cobrimos toda a extensão relevante de
.
Assim, os limites de integração são:
-
de 0 a 4 -
de a
Passo 3
Expressar as Funções que Limitam o Sólido em
Para calcular o volume, precisamos saber como
varia dentro do sólido para cada ponto
. As superfícies que limitam
são:
- Superior:
- Inferior:
Portanto, para cada ponto
na região de integração,
varia de
até
.
Passo 4
Configurar a Integral Dupla para o Volume
O volume
do sólido pode ser calculado usando a integral dupla da diferença entre as funções superior e inferior:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Calcular a Integral para Encontrar o Volume
Vamos primeiramente integrar em relação a
:
Calculando nos limites:
Agora, integramos esse resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.