Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), a massa de W é definida por:
MW=integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:
barx & =integral triplaW x f(x, y, z) d x d y d zMW, bary=integral triplaW y f(x, y, z) d x d y d zMW barz & =integral triplaW z f(x, y, z) d x d y d zMW
Calcule o centro de massa do sólido limitado limitado pelos planos y=-x+1, y=x+1, y=0, z=0 e z=2, se a densidade é f(x, y, z)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa de um sólido limitado por alguns planos no espaço tridimensional, com a densidade sendo igual a 1 em todos os pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para encontrar a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as limitações do sólido. Temos os planos:
Esses planos definem uma região no espaço que vamos integrar.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites de integração para as variáveis y = x + 1 = 0 Rightarrow x = -1 , y = -x + 1 = 0 Rightarrow x = 1 e . Observando os planos e , podemos encontrar onde eles se intersectam com .
Igualando:
Então, varia de -1 a 1.

Passo 4

Para cada valor de entre -1 e 1, varia de até as linhas ou , dependendo do valor de . Porém, como deve estar entre 0 e ambas as linhas, varia de 0 até .
Para , é mais simples: varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa M = integral triplaW 1 , dx , dy , dz do sólido. Como a densidade M = integral-1^1 integral0^1 - |x| integral0^2 dz , dy , dx , a massa é igual ao volume:
Usando os limites que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^2 dz = 2 primeiro:
M = 2 integral-1^1 integral0^1 - |x| dy , dx
Então, a massa fica:

Passo 7

Integrando em integral0^1 - |x| dy = 1 - |x| :
M = 2 integral-1^1 (1 - |x|) , dx
Portanto:

Passo 8

Para resolver integral-1^1 (1 - |x|) , dx = 2 integral0^1 (1 - x) , dx = 2 [ x - x^22 ]0^1 = 2 (1 - 12) = 2 times 12 = 1 , notamos que a função é simétrica em relação a . Então:
Então, .

Passo 9

Agora, vamos encontrar barx = 1M integral triplaW x cdot 1 , dx , dy , dz = 12 integral triplaW x , dx , dy , dz , e .
Começando por :

Passo 10

Usando os mesmos limites de integração:
integral triplaW x , dx , dy , dz = integral-1^1 integral0^1 - |x| integral0^2 x , dz , dy , dx = 2 integral-1^1 integral0^1 - |x| x , dy , dx

Passo 11

Integrando em integral0^1 - |x| x , dy = x (1 - |x|) :
integral triplaW x , dx , dy , dz = 2 integral-1^1 x (1 - |x|) , dx
Então:

Passo 12

Observando que a função integral triplaW x , dx , dy , dz = 0 é ímpar (ou seja, barx = 02 = 0 ), a integral de -1 a 1 de uma função ímpar é zero. Portanto:
Logo:

Passo 13

Agora, vamos calcular bary = 1M integral triplaW y cdot 1 , dx , dy , dz = 12 integral triplaW y , dx , dy , dz :

Passo 14

Configurando a integral:
integral triplaW y , dx , dy , dz = integral-1^1 integral0^1 - |x| integral0^2 y , dz , dy , dx = 2 integral-1^1 integral0^1 - |x| y , dy , dx

Passo 15

Integrando em integral0^1 - |x| y , dy = (1 - |x|)^22 :
integral triplaW y , dx , dy , dz = 2 integral-1^1 (1 - |x|)^22 , dx = integral-1^1 (1 - |x|)^2 , dx
Então:

Passo 16

Novamente, a função é simétrica, então:
integral-1^1 (1 - |x|)^2 , dx = 2 integral0^1 (1 - x)^2 , dx = 2 [ (1 - x)^33 ]0^1 = 2 (0 - 13) = -23
Como a integral não pode ser negativa nesse contexto, revisando:
Na verdade,
integral-1^1 (1 - |x|)^2 , dx = 2 integral0^1 (1 - x)^2 , dx = 2 [ (1 - x)^33 ]0^1 = 2 (0 - 13) = 23
Portanto:
bary = 2/32 = 13

Passo 17

Finalmente, vamos calcular barz = 1M integral triplaW z cdot 1 , dx , dy , dz = 12 integral triplaW z , dx , dy , dz :

Passo 18

Configurando a integral:
integral triplaW z , dx , dy , dz = integral-1^1 integral0^1 - |x| integral0^2 z , dz , dy , dx

Passo 19

Integrando em integral0^2 z , dz = [ z^22 ]0^2 = 42 = 2 :
integral triplaW z , dx , dy , dz = 2 integral-1^1 integral0^1 - |x| dy , dx = 2 integral-1^1 (1 - |x|) , dx = 2 times 1 = 2
Então:

Passo 20

Portanto:
barz = 22 = 1

Resposta

O centro de massa do sólido é .

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