Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, a massa de
é definida por:
As coordenadas do centro de massa do sólido
são definidas por:
Calcule o centro de massa do sólido limitado limitado pelos planos
,
e
, se a densidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa de um sólido limitado por alguns planos no espaço tridimensional, com a densidade sendo igual a 1 em todos os pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para encontrar a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as limitações do sólido. Temos os planos:
Esses planos definem uma região no espaço que vamos integrar.
Passo 3
Vamos começar determinando os limites de integração para as variáveis
,
e
. Observando os planos
e
, podemos encontrar onde eles se intersectam com
.
Igualando:
Então,
varia de -1 a 1.
Passo 4
Para cada valor de
entre -1 e 1,
varia de
até as linhas
ou
, dependendo do valor de
. Porém, como
deve estar entre 0 e ambas as linhas,
varia de 0 até
.
Para
, é mais simples:
varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa
do sólido. Como a densidade
, a massa é igual ao volume:
Usando os limites que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a massa fica:
Passo 7
Integrando em
:
Portanto:
Passo 8
Para resolver
, notamos que a função é simétrica em relação a
. Então:
Então,
.
Passo 9
Agora, vamos encontrar
,
e
.
Começando por
:
Passo 10
Usando os mesmos limites de integração:
Passo 11
Integrando em
:
Então:
Passo 12
Observando que a função
é ímpar (ou seja,
), a integral de -1 a 1 de uma função ímpar é zero. Portanto:
Logo:
Passo 13
Agora, vamos calcular
:
Passo 14
Configurando a integral:
Passo 15
Integrando em
:
Então:
Passo 16
Novamente, a função é simétrica, então:
Como a integral não pode ser negativa nesse contexto, revisando:
Na verdade,
Portanto:
Passo 17
Finalmente, vamos calcular
:
Passo 18
Configurando a integral:
Passo 19
Integrando em
:
Então:
Passo 20
Portanto:
Resposta
O centro de massa do sólido é
.