Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(a) integral x-9(x+5)(x-2) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida da função x-9(x+5)(x-2). Essa questão envolve o estudo de integração de frações racionais, onde utilizaremos o método de frações parciais para simplificar a expressão e integrá-la de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração x-9(x+5)(x-2) em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a expressão como a soma de duas frações simples, cada uma com um dos denominadores lineares (x+5) e (x-2).
Então, assumimos que:
x-9(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+5)(x-2) para eliminar as frações:
x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5)

Passo 4

Expandindo os termos no lado direito:
x - 9 = A x - 2A + B x + 5B
x - 9 = (A + B)x + (-2A + 5B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de x:
1 = A + B
  1. Termo constante:
-9 = -2A + 5B

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A + B = 1 A = 1 - B
  2. Substituindo na segunda equação:
-9 = -2(1 - B) + 5B
-9 = -2 + 2B + 5B
-9 + 2 = 7B
-7 = 7B
B = -1
Então, substituindo B na primeira equação:
A = 1 - (-1) = 2

Passo 7

Agora que encontramos A = 2 e B = -1, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
x-9(x+5)(x-2) = 2x+5 - 1x-2

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+5 , dx - integral 1x-2 , dx
Utilizando a fórmula básica da integral:
integral 1u , du = ln|u| + C
Temos:
2 ln|x+5| - ln|x-2| + C

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln|x+5| - ln|x-2| + C

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