Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(a)

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida da função . Essa questão envolve o estudo de integração de frações racionais, onde utilizaremos o método de frações parciais para simplificar a expressão e integrá-la de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a expressão como a soma de duas frações simples, cada uma com um dos denominadores lineares e .
Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Expandindo os termos no lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que encontramos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Utilizando a fórmula básica da integral:
Temos:

Resposta

A integral indefinida é:

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Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Considere a função:
Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e .
Calcule: