Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida da função
. Essa questão envolve o estudo de integração de frações racionais, onde utilizaremos o método de frações parciais para simplificar a expressão e integrá-la de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a expressão como a soma de duas frações simples, cada uma com um dos denominadores lineares
e
.
Então, assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo os termos no lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
→ - Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Utilizando a fórmula básica da integral:
Temos:
Resposta
A integral indefinida é: